Russian: О некоторых проблемах нестандартной теории меры, Дипломная работа, защищена в июне 1993 года на Кафедре математического анализа Механико-математический факультета Новосибирского Государственного Университета.

Научные руководители: Александр Ефимович Гутман и Семен Самсонович Кутателадзе. Также Анатолий Георгиевич Кусраев был моим неофициальным научным руководителем.

English: On some problems of nonstandard measure theory, Master thesis, defended in June 1993 at Mathematical Analysis Chair of Mechanics and Mathematics Department at Novosibirsk State University.

Advisors: Alexander Ye.Gutman, Semen S.Kutateladze. Also, Anatoly G.Kusraev was my unofficial advisor.

Brief review:

Russian: Данная работа представляет собой исследование некоторых разделов нестандартной теории меры, которая является одной из наиболее удачных областей применения нестандартного анализа. Исключение составляет лишь четвертая часть, содержащяя результаты относящиеся к классической теории меры.

В первой части проводится дискретизация псевдоинтегрального оператора, использующая полученную Е.И.Гордоном в дискретизацию интеграла. Основной результат заключается в том, что, заменяя функции векторами, составленными из их значений в конечном (но бесконечно большом) числе точек, можно с точностью до бесконечно малого аппроксимировать псевдоинтегральный оператор матрицей бесконечно большого размера. При этом для случая интегрального оператора показано, что матрица аппроксимирующего гиперконечного оператора строится как таблица значений ядра исходного оператора в узлах некоторой сетки. Ранее аналогичные результаты были получены лишь для преобразования Фурье и некоторых связанных с ним операторов, а также для операторов Гильберта-Шмидта.

Важным шагом в развитии нестандартной теории меры явилось появление меры Леба, введенной П.Лебом. Позже аналогичная конструкция была построена для мер со значениями в нормированном пространстве. Во второй части представленной работы построена конструкция меры Леба для случайной меры. Доказывается, что получится тот же объект, если рассматривать случайную меру как векторную, со значениями в пространстве измеримых функций, и строить для нее меру Леба как для векторной меры. О нетривиальности задачи свидетельствует установленный в работе факт, что внутреннюю случайную меру можно продолжить лишь на сигма-алгебру, порожденную внутренней алгеброй множеств, а не на всю алгебру Леба.

Третья часть посвящена исследованию случайных элементов в произведениях пространств с мерой. Ф.Ваттенбергом было введено понятие случайного элемента. Е.И.Гордон ввел понятие относительно случайного элемента и показал, что если первая координата точки в произведении двух пространств случайна, а вторая случайна относительно первой, то такая точка случайна в произведении пространств с мерой. В третьей части даной работы исследован обратный вопрос: когда координаты точки, случайной в произведении пространств, случайны друг относительно друга.

В четвертой части приведены некоторые результаты, относящиеся к классической теории меры. В частности, получено достаточное условие существования сохраняющего меру эпиморфизма из пространства с мерой на единичный отрезок с мерой Лебега. На достаточно широком классе пространств с мерей введена некоторая вещественая структура.

Пятая часть посвящена исследованию свойств и структуры бесконечно мелких разбиений измеримых пространств, рассмотренных П.Лебом. Установлены некоторые характеризации мер и измеримых функций по их значениям на элементах разбиения.

English: Most of the results of Part 1 and Part 2 were published in "Nonstandard discretization and the Loeb extension of a family of measures".

Recall, that a point of a measure space is said to be random if it is not containded in any standard null set. A point is said to be t-random if it is not containded in any t-standard null set for some set t. Ye.I.Gordon showed that if x is a random point in a measure space X, and y is an x-random point in a measure space Y, then the pair (x,y) is random in the product of X and Y. In Part 3 we present necessary and sufficient conditions (in terms of X and Y) for the reverse implication to be true.

The results of Part 4 were published in "Real partitions of measure spaces". The results of Part 5 were later incorporated in "Infinitely fine partitions of measure spaces".

Download

the full Russian version of the paper: PDF, PS, DVI. A hard copy is available upon request. There is no English version of this document.


Back to the list of papers