ГОСКОМИТЕТ РОССИИ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Механико-математический факультет Кафедра математического анализа ТРОИЦКИЙ Владимир Георгиевич

О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ НЕСТАНДАРТНОЙ ТЕОРИИ МЕРЫ

Научные руководители: Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Института

математики СО РАН ГУТМАН Александр Ефимович

Доктор физико-математических наук, начальник отдела функционального анализа Института математики СО РАН КУТАТЕЛАДЗЕ Семен Самсонович

Новосибирск – 1993

Введение

Данная работа представляет собой исследование некоторых разделов нестандартной теории меры, которая является одной из наиболее удачных областей применения нестандартного анализа. Исключение составляет лишь четвертая часть, содержащяя результаты относящиеся к классической теории меры.

В первой части проводится дискретизация псевдоинтегрального оператора, использующая полученную Е. И. Гордоном в [1] дискретизацию интеграла. Основной результат заключается в том, что, заменяя функции векторами, составленными из их значений в конечном (но бесконечно большом) числе точек, можно с точностью до бесконечно малого аппроксимировать псевдоинтегральный оператор матрицей бесконечно большого размера. При этом для случая интегрального оператора показано, что матрица аппроксимирующего гиперконечного оператора строится как таблица значений ядра исходного оператора в узлах некоторой сетки. Ранее аналогичные результаты были получены лишь для преобразования Фурье и некоторых связанных с ним операторов, а также для операторов Гильберта–Шмидта ([2,3]).

Важным шагом в развитии нестандартной теории меры явилось появление меры Леба, введенной П. Лебом в работе [4]. Позже аналогичная конструкция была построена для мер со значениями в нормированном пространстве (см., например, [5]). Во второй части представленной работы построена конструкция меры Леба для случайной меры. Доказывается, что получится тот же объект, если рассматривать случайную меру как векторную, со значениями в пространстве измеримых функций, и строить для нее меру Леба как для векторной меры. О нетривиальности задачи свидетельствует установленный в работе факт, что внутреннюю случайную меру можно продолжить лишь на σ-алгебру, порожденную внутренней алгеброй множеств, а не на всю алгебру Леба.

Третья часть посвящена исследованию случайных элементов в произведениях пространств с мерой. В работе [6] Ф. Ваттенбергом было введено понятие случайного элемента. Е. И. Гордон ввел понятие относительно случайного элемента (см. [7]) и показал, что если первая координата точки в произведении двух пространств случайна, а вторая случайна относительно первой, то такая точка случайна в произведении пространств с мерой. В третьей части даной работы исследован обратный вопрос: когда координаты точки, случайной в произведении пространств, случайны друг относительно друга.

В четвертой части приведены некоторые результаты, относящиеся к классической теории меры. В частности, получено достаточное условие существования сохраняющего меру эпиморфизма из пространства с мерой на единичный отрезок с мерой Лебега. На достаточно широком классе пространств с мерей введена некоторая вещественая структура.

Пятая часть посвящена исследованию свойств и структуры бесконечно мелких разбиений измеримых пространств, рассмотренных П. Лебом в [8]. Установлены некоторые характеризации мер и измеримых функций по их значениям на элементах разбиения.

Результаты, приведенные в первой, второй и четвертой частях, будут опубликованы в третьем номере Сибирского Математического Журнала за 1993 год. В декабре 1992 года материалы четвертой части также представлены автором в Сибирский Математический Журнал.

Изложение ведется на языке теории внутренних множеств Е. Нельсона IST (см., например, [9]), однако все рассуждения верны и в рамках классического робинсоновского нестандартного анализа. По умолчанию рассматриваемые объекты предполагаются внутренними. Для стандартного множества A будем обозначать через ^{∘}A стандартное ядро A, т. е. совокупность всех его стандартных элементов. Будем также использовать принятые сокращения: (∃^{st}x Φ) = (∃x St(x)&Φ), (∀^{st}x Φ) = (∀x St(x) → Φ), (∃^{fin}x Φ) = (∃x x-конечно&Φ), |A| = мощность множества A.

Автор весьма признателен А. Е. Гутману, Е. И. Гордону, А. Г. Кусраеву и А. С. Малюгину за множество советов и замечаний.

1. Дискретизация интегрального оператора

В работе [1] доказана

Теорема 1.1. Пусть (X , A, μ) — стандартное пространство с σ-конечной мерой. Тогда найдутся конечный набор X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X и положительное число Δ такие, что для любой стандартной интегрируемой функции f : X → ℝ

∫_{X} f dμ = ^{∘}(Δ ∑_{X} f),

где ∑_{X} f означает ∑_{i=1}^{N} f(x_{i}).

Однако нам понадобится несколько более сильный результат:

Теорема 1.2. Пусть (X , A, μ) — стандартное пространство с σ-конечной мерой. Тогда для любого бесконечно малого положительного ε найдутся конечный набор X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X и положительное число Δ такие, что для любой стандартной интегрируемой функции f : X → ℝ

| ∫_{X} f dμ − Δ ∑_{X} f| ⩽ ε.

В этом случае будем говорить, что пара (X, Δ) аппроксимирует меру μ с точностью до ε.

Для конечной меры теорема 2 получена Е. И. Гордоном в работе [1] в ходе доказательства теоремы 1. Доказательство теоремы 2 в случае σ-конечной меры можно получить, несколько модифицировав это доказательство. Нам потребуются некоторые определения и факты из статьи [7]. Произвольный элемент τ называется допустимым, если он является элементом какого-нибудь стандартного множества. Элемент ξ называется стандартным относительно допустимого элемента τ (τ-стандартным), если существует стандартная функция f такая, что для любого b ∈ dom f множество f(b) конечно, τ ∈ dom f, ξ ∈ f(τ). В статье [7] показано, что принципы переноса и идеализации остаются справедливыми, если каждое вхождение предиката “X стандартно” заменить в них предикатом “X τ-стандартно” для любого фиксированного допустимого τ. Действительное число r называется τ-бесконечно малым (r ≈^{τ} 0), если |r| < t для любого положительного τ-стандартного t, и τ-бесконечно большим,

если r^{−1} ≈^{τ} 0.

Отсюда следует, что если последовательность (r_{n})_{n∈ℕ} стандартна относительно τ, то lim_{n→∞} r_{n} = r в том и только в том случае, когда r_{N} ≈^{τ} r для любого τ-бесконечно большого N.

Для доказательства теоремы 2 нам также потребуется

Теорема 1.3 ([1]). Пусть τ — допустимое множество, (X , A, μ) — τ-стандарт-ное пространство с вероятностной мерой. Тогда существует последовательность (ξ_{n})_{n∈ℕ} элементов X такая, что для любой τ-стандартной интегрируемой функции f : X → ℝ

∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=0}^{n−1} f(ξ_{i}).

Доказательство. Пусть (X_{n})_{n∈ℕ} — стандартная последовательность измеримых подмножеств X такая, что X_{n} ⊂ X_{n+1}, μ(X_{n}) < ∞ для всех n и X = ⋃_{n∈ℕ}X_{n}. Из равенства

∫_{X} f dμ = lim_{n→∞} ∫_{X_{n}} f dμ

и того, что последовательность ( ∫_{X_{n}} f dμ)_{n∈ℕ} стандартна (а значит, и ε-стандартна), следует, что

∫_{X_{N}} f dμ ≈^{ε} ∫_{X} f dμ

для любого ε-бесконечно большого N. А поскольку число ε/2 ε-стан- дартно, то

| ∫_{X_{N}} f dμ − ∫_{X} f dμ| ⩽ \frac{ε}{2}.

Рассмотрим пространство (X_{N}, A_{N}, μ_{N}), где A_{N} = {A ∩ X_{N}|A ∈ A} и μ_{N} = \frac{1}{μ(X_{N})}μ|_{A_{N}} — вероятностная мера. Это пространство, очевидно, N-стандартно, и по теореме 3 найдется такая внутренняя последовательность (ξ_{n})_{n∈ℕ} элементов X, что для любой N-стандартной функции g ∈ L_{1}(X_{N}, A_{N}, μ_{N})

∫_{X_{N}} g dμ_{N} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=0}^{n−1} g(ξ_{i}),

т.е.

lim_{n→∞} \frac{μ(X_{N})}{n} ∑_{i=0}^{n−1} g(ξ_{i}) = ∫_{X_{N}} g dμ.

Последовательность (\frac{μ(X_{N})}{n} ∑_{i=0}^{n−1} g(ξ_{i}))_{n∈ℕ} (ξ, N)-стандартна. Поэтому если K — (ξ, N)-бесконечно большое число, то

lim_{n→∞} \frac{μ(X_{N})}{n} ∑_{i=0}^{n−1} g(ξ_{i}) ≈^{(ξ,N)} \frac{μ(X_{N})}{K} ∑_{i=0}^{K−1} g(ξ_{i}).

Положим X = (ξ_{1}, …, ξ_{k}), Δ = \frac{μ(X_{N})}{K}. Тогда ∫_{X_{N}} g dμ ≈^{(ξ,N)} Δ ∑_{X} g. Поскольку

функция f стандартна, а значит, и N-стандартна, а число 1/N является (ξ, N)- стандартным, то

| ∫_{X_{N}} f dμ − Δ ∑_{X} f| ⩽ \frac{1}{N} .

Теперь, вспомнив, что число N ε-бесконечно большое, получаем неравенство 1/N < ε/2, откуда

| ∫_{X} f dμ − Δ ∑_{X} f| ⩽ | ∫_{X} f dμ − ∫_{X_{N}} f dμ| + | ∫_{X_{N}} f dμ − Δ ∑_{X} f| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε.

Поскольку в доказательстве теоремы 2 используются лишь принципы переноса и идеализации, справедливо

Следствие 1.4. Пусть τ — допустимое множество, (X , A, μ) — τ-стан дартное пространство с σ-конечной мерой. Тогда для любого положительного ε найдутся конечный набор X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X и положительное число Δ такие, что для любой τ-стандартной интегрируемой функции f : X → ℝ

| ∫_{X} f dμ − Δ ∑_{X} f| ⩽ ε.

В дальнейшем нам потребуется следующая техническая

Лемма 1.5. Пусть Y,L — стандартные множества, F : ^{∘}Y → P^{Int}(L), где P^{Int}(L) обозначает совокупность всех внутренних подмножеств L, и ^{∘}L ⊂ ⋂_{y∈^{∘}Y} F_{y}. Тогда существует внутреннее множество F такое, что ^{∘}L ⊂ F ⊂ ⋂_{y∈^{∘}Y} F_{y}.

Доказательство. Продолжим F до внутренней функции F : Y → P^{Int}(L) (в теории IST такое продолжение обеспечивает принцип идеализации, в рамках же робинсоновского анализа потребуется α^{+}-насы- щенность, где α — мощность ^{∘}Y). По условию l ∈ F_{y} для любых y ∈ ^{∘}Y и l ∈ ^{∘}L, т. е. для любой пары (y, l) ∈ ^{∘}(Y × L). Пусть n ∈ ℕ, (y_{1}, l_{1}), …, (y_{n}, l_{n}) ∈ ^{∘}(Y × L). Тогда, положив F = ⋂_{i=1}^{n} F_{y_{i}}, получаем l_{i} ∈ F ⊂ F_{y_{i}} для всех i = 1, …, n. Отсюда согласно принципу идеализации (или принципу насыщения) следует существование внутреннего F такого, что l ∈ F ⊂ F_{y}

для всех (y, l) ∈ ^{∘}(Y × L), т. е. ^{∘}L ⊂ F ⊂ ⋂_{y∈^{∘}Y} F_{y}.

Пусть теперь (X , A, λ_{y})_{y∈Y} — стандартное семейство пространств с σ-конечными мерами, т. е. X и Y — стандартные множества, A — cтандартная σ-алгебра подмножеств X, и λ : A × Y → ℝ — стандартная функция такая, что для каждого y ∈ Y функция λ_{y} = λ(·, y) : A → ℝ является σ-конечной мерой на X.

Введем обозначения: F(Y) = ℝ^{Y}, L_{1}(X) = {f : X → ℝ | f λ_{y}-интегрируема для всех y ∈ Y}. Для конечного набора X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X обозначим символом π_{X} “проектор” из L_{1}(X) в ℝ^{N}, сопоставляющий функции f ∈ L_{1}(X) вектор (f(x_{1}), …, f(x_{N})). Аналогично для конечного набора Y = (y_{1}, …, y_{M}) элементов Y определим π_{Y} : F(Y) → ℝ^{M} по правилу π_{Y} (F) = (F (y_{1}), …, F (y_{M})). Обозначим через T псевдоинтегральный оператор, действующий из L_{1}(X) в F(Y) следующим

образом: (T f)(y) = ∫_{X} f dλ_{y}.

Теорема 1.6 (дискретизация псевдоинтегрального оператора). Существуют конечные наборы X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X и Y = (y_{1}, …, y_{M}) элементов Y, причем ∘Y ⊂ Y, а также матрица Λ размера N × M такие, что для любой стандартной функции f ∈ L_{1}(X) выполнено π_{Y} (T f) ≈ Λπ_{X}(f), т. е. ∫ f dλ_{y_{j}} ≈ ∑_{i=1}^{N} f(x_{i})Λ_{ij}, (j = 1, …, M). Другими словами, диаграмма

L_{1}(X) ⟶^{T} F(Y)
π_{X} ↓  ^{π_{Y}} ↓
ℝ^{N} ⟶^{Λ} ℝ^{M}.

коммутативна с точностью до бесконечно малого.

Доказательство. Фиксируем положительное бесконечно малое ε. Для любого стандартного y ∈ Y σ-конечная мера λ_{y} стандартна, и из теоремы 2 следует существование конечного набора X_{y} элементов X и положительного Δ_{y} ∈ ℝ таких, что | ∫ f dλ_{y} − Δ_{y} ∑_{X_{y}} f| ⩽ ε для любой стандартной функции f ∈ L_{1}(X).

Продолжим функции X : ^{∘}Y → ⋃_{n∈ℕ}X^{n} и Δ : ^{∘}Y → ℝ до внутренних функций X :

Y → ⋃_{n∈ℕ}X^{n} и Δ : Y → ℝ и обозначим внутреннюю формулу | ∫ f dλ_{y} − Δ_{y} ∑_{X_{y}} f| ⩽ ε

через Φ(y, f). Обозначим теперь внутреннее множество {f ∈ L_{1}(X) | Φ(y, f)} через F_{y}. Тогда ^{∘}L_{1}(X) ⊂ F_{y} для каждого стандартного y ∈ Y. По лемме 5 найдется внутреннее F такое, что ^{∘}L_{1}(X) ⊂ F ⊂ ⋂_{y∈^{∘}Y} F_{y}, в частности ∀^{st}y ∈ Y ∀f ∈ F Φ(y, f).

Положим Y_{∘} = {y ∈ Y|∀f ∈ F Φ(y, f)}. Это внутреннее множество, причем ^{∘}Y ⊂ Y_{∘}. Известно, что найдется внутреннее конечное множество Ỹ такое, что ^{∘}Y ⊂ Ỹ ⊂ Y. Положим Y_{1} = Y_{∘} ∩ Ỹ. Тогда Y_{1} — конечное внутреннее множество и ∀y ∈ Y_{1} ∀f ∈ F Φ(y, f), но так как ^{∘}L_{1}(X) ⊂ F, то ∀y ∈ Y_{1} ∀^{st}f ∈ L_{1}(X) Φ(y, f).

Возьмем в качестве Y любой набор (y_{1}, …, y_{M}), составленный из всех элементов Y_{1}, а в качестве X — конкатенацию наборов X_{y_{1}} ⊕ X_{y_{2}} ⊕ … ⊕ X_{y_{M}}, т. е. набор, образованный стоящими подряд элементами наборов X_{y_{1}}, X_{y_{2}}, …, X_{y_{M}}. Пусть X = (x_{1}, …, x_{N}). Положим

Λ_{nm} = \begin{cases}Δ_{y_{m}}, & когда ∑_{j=1}^{m−1} N_{j} < n ⩽ ∑_{j=1}^{m} N_{j}; \\ 0 & иначе, \end{cases}

где N_{j} — длина набора X_{y_{j}}. Тогда для любой стандартной функции f ∈ L_{1}(X)

| ∫ f dλ_{y_{j}} − ∑_{i=1}^{N} f(x_{i})Λ_{ij}| = | ∫ f dλ_{y_{j}} − ∑_{X_{y_{j}}} f · Δ_{y_{j}} | ⩽ ε (j = 1, …, M),

т. е. ∫_{X} f dλ_{y_{j}} ≈ ∑_{i=1}^{N} f(x_{i})Λ_{ij}.

Рассмотрим частный случай псевдоинтегрального оператора — интегральный оператор. Пусть в условиях теоремы 6 на σ-алгебре A задана σ-конечная мера μ и для каждого y ∈ Y мера λ_{y} абсолютно непрерывна относительно μ с плотностью K : X × Y → ℝ, причем для каждого y ∈ Y функция K_{y} = K( · , y) принадлежит L_{∞}(X , A, μ). Тогда псевдоинтегральный оператор превращается в интегральный:

T : L_{1}(X) → F(Y), (T f)(y) = ∫_{X} f dλ_{y} = ∫_{X} f · K_{y} dμ.

Зафиксируем положительное бесконечно малое ε. Теорема 2 обеспечивает существование конечного набора X = (x_{1}, …, x_{N}) элементов X и положительного Δ ∈ ℝ таких, что для любой стандартной функции f ∈ L_{1}(X , A, μ)

| ∫_{X} f dμ − Δ ∑_{X} f| ⩽ ε.

Теорема 1.7. (дискретизация интегрального оператора). Существуют конечный набор Y = (y_{1}, …, y_{M}) элементов Y, причем ^{∘}Y ⊂ Y, и матрица Λ такие, что Λ_{ij} = Δ · K(x_{i}, y_{j}) и π_{Y} (T f) ≈ Λπ_{X}(f).

Доказательство. повторяет в основном доказательство теоремы 6. Пусть y ∈ ^{∘}Y. Обозначим через Ψ(y, f) внутреннюю формулу |∫ f dλ_{y}−Δ ∑_{X} f·K_{y}| ⩽ ε. Из стандартности K_{y} следует, что для любой стандартной f ∈ L_{1}(X)

| ∫_{X} f dλ_{y} − Δ ∑_{X} f · K_{y}| = | ∫_{X} f · K_{y} dμ − Δ ∑_{X} f · K_{y}| ⩽ ε.

Пусть F_{y} = {f ∈ L_{1}(X) | Ψ(y, f)}, тогда по лемме 5 найдется внутреннее F такое, что ∀^{st}y ∈ Y ∀f ∈ F Ψ(y, f) и ^{∘}L_{1}(X) ⊂ F. В этом случае существует конечное внутреннее Y_{1} ⊂ Y такое, что ^{∘}Y ⊂ Y_{1} и ∀y ∈ Y_{1} ∀f ∈ F Ψ(y, f), но так как ∘L_{1}(X) ⊂ F, то ∀y ∈ Y_{1} ∀^{st}f ∈ L_{1}(X) Ψ(y, f). Если в качестве Y взять набор, составленный из всех элементов Y_{1}, то

∫_{X} f dλ_{y_{j}} ≈ Δ ∑_{X} f · K_{y_{j}} = ∑_{i=1}^{N} f(x_{i})Λ_{ij} (j = 1, …, M).

Приведем несколько замечаний, уточняющих теоремы 6 и 7.

Замечание 1.8. Из доказательств теорем 6 и 7 следует более сильный результат, нежели сформулированный в условиях: для любого положительного бесконечно малого ε существуют X, Y, Λ, описанные в условиях теорем 6, 7, такие, что для любой стандартной функции f ∈ L_{1}(X)

| ∫_{X} f dλ_{y_{j}} − ∑_{i=1}^{N} f(x_{i})Λ_{ij}| ⩽ ε (j = 1, …, M).

Замечание 1.9. Из доказательств теорем 6, 7 следует также, что построенный там внутренний конечный набор Y содержит стандартное ядро Y, а значит, наследует многие его свойства. Например, sup_{y∈Y} F (y) = ^{∘} sup_{j=1,... ,M}F (y_{j}) = ^{∘} max π_{Y} (F) для стандартной ограниченной функции F : Y → ℝ.

Замечание 1.10. Проектор π_{X} в теореме 7 сохраняет L_{1}-норму для стандартной интегрируемой функции f : X → ℝ:

∫_{X} f dμ = ^{∘}(Δ ∑_{X} f) = ^{∘} (Δ · ∑_{i=1}^{N}(π_{X}(f))_{i}) .

Замечание 1.11. Потребовав в теореме 7 абсолютную непрерывность всех λ_{y} относительно μ, мы получили более [[явное]] построение X и Λ, чем в теореме 6, а именно: X аппроксимирует меру μ, а Λ является матрицей значений Δ·K на конечной сетке X × Y.

Если ввести в ℝ^{M} max-норму ∥ v ∥= max_{j=1,... ,M} |v_{j}|, то полученный в ходе доказательства теоремы 7 результат можно записать следующим образом: для любой пары (X, Δ), аппроксимирующей меру μ с точностью до ε, найдется конечный набор Y = (y_{1}, …, y_{M}) такой, что ^{∘}Y ⊂ Y и ∥ π_{Y} (T f) − Λπ_{X}(f) ∥⩽ ε.

Теорема 1.12. Для любого конечного набора Y = (y_{1}, …, y_{M}) элементов Y найдется пара (X, Δ), аппроксимирующая меру μ, такая, что ∥ π_{Y} (T f)−Λπ_{X}(f) ∥⩽ ε для любой f ∈ ^{∘}L_{1}(X) (матрица Λ определяется так же, как и в теореме 7).

Доказательство. Для любого y ∈ Y функция K_{y} принадлежит множеству {K_{y_{1}}, …, K_{y_{M}} } и, следовательно, Y -стандартна. Пространство (X , A, μ) стандартно, а значит, и Y -стандартно. Следствие 4 обеспечивает существование конечного набора X и положительного Δ таких, что для любой Y -стандартной интегрируемой функции g

| ∫_{X} g dμ − Δ ∑_{X} g| ⩽ ε.

Если f ∈ ^{∘}L_{1}(X), то f · K_{y} является Y -стандартной интегрируемой функцией, поэтому

| ∫_{X} f dλ_{y} − Δ ∑_{X} f · K_{y}| = | ∫_{X} f · K_{y} dμ − Δ ∑_{X} f · K_{y}| ⩽ ε,

откуда и следует требуемое.

2. Случайная мера Леба

Определение 2.1. Пусть (X , A,) — пространство X с алгеброй A его подмножеств, (Y, B, ν) — пространство Y с алгеброй B и конечно-адди- тивной мерой ν. Случайной (конечно-аддитивной) мерой на A × Y называется функция λ : A × Y → ℝ такая, что

1) для любого A ∈ A функция λ_{A} = λ(A, ·) : Y → ℝ B-измерима;

2) существует подмножество \overline{Y} ⊂ Y полной меры ν такое, что для любого y ∈ \overline{Y} функция λ_{y} = λ(·, y) является (конечно-аддитивной) мерой на A.

Чтобы подчеркнуть, что Y рассматривается с алгеброй B, будем писать λ : A × Y_{B} → ℝ.

Пусть далее (X , A), (Y, B, ν) и случайная конечно-аддитивная мера λ внутренние. Построим меру Леба ν_{L} : L(B, ν) → ^{∘}\overline{ℝ} для меры ν. Будем в дальнейшем писать L(B) вместо L(B, ν).

Для каждого элемента y ∈ \overline{Y} для меры λ_{y} построим меру Леба (λ_{y})_{L} : L(A, λ_{y}) → ∘\overline{ℝ}. Обозначим через σ(A) наименьшую внешнюю σ-алгебру, содержащую алгебру A. По построению меры Леба σ(A) ⊂ L(A, λ_{y}) для каждого y ∈ \overline{Y}.

Определим функцию λ^{L} : σ(A)×Y → ^{∘}\overline{ℝ} следующим образом: для каждого y ∈ \overline{Y} и A ∈ σ(A) положим λ^{L}(A, y) = (λ_{y})_{L}(A), на Y \ \overline{Y} доопределим λ^{L} произвольно.

Теорема 2.2 (случайная мера Леба). Построенная выше функция λ^{L} является внешней случайной мерой λ^{L} : σ(A) × Y_{L(B)} → ^{∘}\overline{ℝ}.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что λ_{y}^{L} = (λ_{y})_{L} и ν_{L}(Y\\overline{Y}), откуда следует, что λ_{y}^{L} является мерой для ν_{L}-почти всех y ∈ Y. Обозначим через 𝔐 множество таких A ∈ σ(A), для которых функция λ_{A}^{L} L(B)-измерима.

Пусть A ∈ A, тогда λ_{A}^{L}(y) = λ_{y}^{L}(A) = ^{∘}λ_{y}(A) = ^{∘}λ_{A}(y) для любого y ∈ \overline{Y}. Следовательно, λ_{A} есть поднятие λ_{A}^{L}, но так как функция λ_{A} B-измерима, по теореме о поднятии (см. [10]) функция λ_{A}^{L} L(B)-измерима, т. е. A ⊂ 𝔐. (Теорема о поднятии сформулирована в [10] только для конечной меры, но приведенное там ее доказательство в нужную нам сторону проходит и для бесконечной меры).

Пусть теперь (A_{n})_{n∈^{∘}ℕ} — монотонная последовательность множеств из 𝔐, A = lim_{n→∞} A_{n}. Тогда A ∈ σ(A), но в силу того, что λ_{y}^{L}(A) = lim_{n→∞} λ_{y}^{L}(A_{n}) для любого y ∈ \overline{Y}, функция λ_{A}^{L} L(B)-измерима как предел последовательности L(B)-измеримых функций (λ_{A_{n}}^{L})_{n∈^{∘}ℕ}. Тем самым 𝔐 — монотонный класс. Так как любой монотонный класс, содержащий алгебру, содержит и порожденную ей σ-алгебру (cм. [11]), то σ(A) ⊂ 𝔐. Но по построению 𝔐 ⊂ σ(A), откуда и следует требуемое.

Мы сознательно рассматриваем λ^{L} только на σ(A). Предположим, алгебры L(A, λ_{y}) совпадают для всех y ∈ Y, обозначим такую алгебру через L(A). Даже в этом случае функция λ^{L} : L(A) × Y_{L(B)} → ^{∘}\overline{ℝ} может не быть случайной мерой.

Пример 2.3. Зафиксируем бесконечно большое натуральное число η, и пусть Δt = η^{−1}, Y = {0, Δt, 2Δt, …, η · Δt = 1}, B = P^{Int}(Y) — алгебра всех внутренних подмножеств Y. Пусть ν — считающая мера на Y, т. е. ν(A) = |A|/|Y| для любого внутреннего A ⊂ Y, где |A| — число элементов A. Как показано в [10], алгебра измеримых по Лебу множеств L(B, ν) в этом случае не совпадает с P(Y). Зафиксируем ν_{L}-неизмеримое множество N.

Положим X = Y, A = B = P^{Int}(Y), и пусть для y ∈ Y, A ∈ A

λ(A, y) = χ_{A}(y) = \begin{cases}1, & если y ∈ A, \\ 0 & иначе. \end{cases}

Функция λ является случайной мерой λ : A × Y_{B} → ℝ.

Легко заметить, что для каждого y ∈ Y алгебра L(A, λ_{y}) совпадает с P(Y), откуда N ∈ L(A) = P(Y). Но функция λ_{N}^{L} = χ_{N} L(B)-неизмерима, т. е. λ^{L} : L(A) × Y → ∘ℝ не является случайной мерой.

Пусть M(Y, B, ν) — пространство классов почти всюду равных измеримых функций, действующих из Y в ℝ, а M(Y, L(B), ν_{L}) — пространство классов ν_{L}-почти всюду равных ν_{L}-почти всюду конечных L(B)-измеримых функций, действующих из Y в ^{∘}\overline{ℝ}. Будем далее считать, что мера ν конечна. Как обычно, мы иногда будем отождествлять классы и функции.

Пусть N_{≈} — порядковый идеал в M(Y, B, ν), состоящий из функций, примерно равных нулю, за исключением множества ν_{L}-меры 0:

N_{≈} = {F̃ ∈ M(Y, B, ν) | (∀F ∈ F̃)(∃N)((ν_{L}(N) = 0) & ((∀y ∉ N)(F (y) ≈ 0)))}.

Обозначим F̃/N_{≈} элемент фактор-пространства M(Y, B, ν)/N_{≈}, соответствующий F̃ ∈ M(Y, B, ν). Из теоремы о поднятии вытекает

Лемма 2.4. Для F̃/N_{≈} ∈ M(Y, B, ν)/N_{≈} положим φ(F̃/N_{≈}) = ^{∘}F̃. Тогда φ является линейным изоморфизмом M(Y, B, ν)/N_{≈} на M(Y, L(B), ν_{L}).

Фактор-пространство M(Y, B, ν), рассматриваемое как векторное пространство над ^{∘}ℝ, по подпространству N_{≈}, является аналогом нестандартной оболочки нормированного пространства (см., например, [12]), где в качестве подпространства взята совокупность элементов бесконечно малой нормы. Если бы мы взяли вместо M(Y, B, ν)/N_{≈} оболочку finM(Y, B, ν) по полунорме ∥ F ∥= ess_{ν} sup |F |, то отображение φ было бы лишь эпиморфизмом. Если взять, к примеру, меру Лебега на отрезке [0,1], то функциям F_{1} ≡ 0 и F_{2} = χ_{[0,ε]}, где ε — положительное бесконечно малое, в оболочке будут соответствовать разные классы, однако φ переводит обе эти функции в нуль.

Пусть V — внутреннее векторное пространство, N ⊂ V^{≈} — его внешние подпространства. Будем называть нестандартной оболочкой V и обозначать символом V̂ фактор-пространство V^{≈}/N. Для v ∈ V^{≈} через v̂ будем обозначать соответствующий класс в V̂.

Пусть A — внутренняя алгебра подмножеств X, F : A → V — внутренняя конечно-аддитивная векторная мера, причем imF ⊂ V^{≈}. Определим ^{∘}F : A → V̂ по правилу ^{∘}F (A) = { \atop F (A)}. Естественно определить векторную меру Леба L(F) : L(A, F) → V̂ как пополнение продолжения меры^{∘}F на σ(A), если такое продолжение существует. Однако вопрос существования продолжения достаточно сложен.

Заметим, что в рассмотренном выше случае M(Y, B, ν)/N_{≈} является нестандартной оболочкой M(Y, B, ν) по идеалу N_{≈}, причем в качестве (M(Y, B, ν))^{≈} взято само пространство M(Y, B, ν).

В связи с описанными выше случайными мерами λ : A × Y_{B} → ℝ и λ^{L} : σ(A) × Y_{L(B)} → ^{∘}\overline{ℝ} рассмотрим векторные меры λ̃ : A → M(Y, B, ν) и λ̃^{L} : σ(A) → M(Y, L(B), ν_{L}), определенные по правилу λ̃(A) = λ_{A}, λ̃^{L}(A) = λ_{A}^{L}.

Теорема 2.5. Для векторной меры λ̃ существует мера Леба L(λ̃), причем на σ(A) она совпадает с λ̃^{L} с точностью до фигурирующего в лемме 4 изоморфизма φ.

Доказательство. Пусть A ∈ A, тогда φ(^{∘}λ̃(A)) = φ({ \atop λ̃(A)}) = ^{∘}(λ̃(A)) = ^{∘}λ_{A} = λ_{A}^{L} = λ̃^{L}(A), т. е. на A меры (φ∘^{∘}λ̃) и λ̃^{L} совпадают. Отсюда следует, что λ̃^{L} и дает искомое продолжение ^{∘}λ̃ на σ(A) с точностью до изоморфизма φ.

3. Случайные элементы в произведениях пространств с мерой

Определение 3.1. Пусть X = (X , A, μ) — стандартное пространство с мерой. Элемент x ∈ X называется случайным (τ-случайным) элементом X, если x ∉ N для любого стандартного (τ-стандартного) множества N нулевой меры.

Понятие случайного элемента было введено Ваттенбергом в работе [6], относително случайного элемента — в работе Гордона [7].

Далее везде будем считать, что X = (X , A, μ) и Y = (Y, B, ν) — два стандартных пространства с мерой, X ⊗Y = (X ×Y, A⊗B, μ⊗ν) — их произведение (где A⊗B — наименьшая σ-алгебра, содержащая все [[прямоугольники]] со [[сторонами]] из A и B). Будем обозначать символом E_{x} сечение множества E ⊂ X × Y точкой x ∈ X : E_{x} = {y ∈ Y | (x, y) ∈ E}. Введем также обозначения: N_{X} = {A ∈ A | μ(A) = 0}, N_{Y} = {B ∈ B | ν(B) = 0}, N_{X⊗Y} = {F ∈ A ⊗ B | (μ ⊗ ν)(F) = 0}, Ñ = {E ⊂ X × Y | ∀x ∈ X E_{x} ∈ N_{Y} }.

Е. И. Гордон доказал следующий факт:

Теорема 3.2. Если x_{0} — случайный элементв X, а y_{0} является x_{0}-случайным элементом в Y, то пара (x_{0}, y_{0}) случайна в X ⊗ Y.

В связи с этим результатом Гордоном была поставлена следующая проблема: верно ли утверждение, обратное теореме 2?

Определение 3.3. Будем говорить, что пара пространств с мерой (X, Y) удовлетворяет обратному условию Гордона, если для любой случайной в X ⊗ Y пары (x, y) верно, что точка y x-случайна.

Определение 3.4. Будем говорить, что пара (X, Y) графически измерима, если (∀E ∈ Ñ)(∃F ∈ N_{X⊗Y})(E ⊂ F).

Лемма 3.5. Точка y_{0} x_{0}-случайна тогда и только тогда, когда (∀^{st}E ∈ Ñ)(y_{0} ∉ E_{x_{0}}).

Доказательство. Предположим, y_{0} x_{0}-неслучайна. Это значит, что найдется множество B и стандартная функция f такие, что x_{0} ∈ dom f, множество f(z) конечно для всякого z ∈ dom f и y_{0} ∈ B ∈ f(x_{0}) ∩ N_{Y}.

Построим новую стандартную функцию g : X → N_{Y}

g(x) = \begin{cases}∅, & если x ∉ dom f, \\ ⋃(f(x) ∩ N_{Y}) & — объединение всех множеств нулевой меры ν, \\ & попавших в f(x). \end{cases}

Поскольку множество f(x) — конечно, то g(x) ∈ N_{Y} для всех x ∈ X. Очевидно, y_{0} ∈ g(x_{0}), поэтому y_{0} ∈ E_{x_{0}}, где E = {(x, y) | y ∈ g(x)} ∈ Ñ.

Наоборот, предположим, найдется такое стандартное E ∈ Ñ, что y_{0} ∈ E_{x_{0}}. Функция f(x) = {E_{x}} стандартна, поэтому множество нулевой меры E_{x_{0}} x_{0}-стандартно, а значит, точка y_{0} не является x_{0}-случайной.

Теорема 3.6. Пара (X, Y) удовлетворяет обратному условию Гордона тогда и только тогда, когда она графически измерима.

Доказательство. Пусть пара (X, Y) удовлетворяет обратному условию Гордона. С учетом леммы 5 это утверждение можно записать в следующем виде

(∀z ∈ X × Y)[((∀^{st}F ∈ N_{X⊗Y})(z ∉ F)) → ((∀^{st}E ∈ Ñ)(z ∉ E))].

Применив к этой формуле алгоритм Нельсона, получим:

(∀Ẽ : N_{X⊗Y} → Ñ)(∃^{fin}F ⊂ N_{X⊗Y})(∀x ∈ X × Y)(∃F ∈ F)[(z ∈ Ẽ(F)) → (z ∈ F)].

Если в качестве функции Ẽ взять постоянную функцию Ẽ = E ∈ Ñ, то

(∀E ∈ Ñ)(∃^{fin}F ⊂ N_{X⊗Y})(E ⊂ ⋃ F),

но, поскольку из конечности F следует ⋃ F ⊂ N_{X⊗Y}, то

(∀E ∈ Ñ)(∃F ⊂ N_{X⊗Y})(E ⊂ F),

то есть пара (X, Y) графически измерима.

Обратно, пусть пара (X, Y) графически измерима, и (x, y) — случайный элемент X⊗Y. Предположим, точка y не x-случайна. Тогда по лемме 5 (∃^{st}E ∈ Ñ)(y ∈ E_{x}). Из графической измеримости пары (X, Y) следует существование такого стандартного F ∈ N_{X⊗Y} что E ⊂ F. Итак, (x, y) ∈ E ⊂ F ∈ ^{∘}N_{X⊗Y} что противоречит случайности пары (x, y).

Пример 3.7. Пусть Lb и Bo - соответственно лебеговская и борелевская алгебры подмножеств отрезка [0,1], m - мера Лебега, I = ([0, 1], Lb, m) и B = ([0, 1], Bo, m).

Из приведенного в [13] примера (построенного В. Серпинским) множества на плоскости, имеющего с каждой прямой не более двух общих точек и неизмеримого по Лебегу, следует, что пары (I, I) и (B, B) графически неизмеримы.

Предложение 3.8. Пусть X = (X , A, μ), Y = (Y, B, ν) — два пространства с мерой, \overline{X} = (X , \overline{A}, \overline{ν}) и \overline{Y} = (Y, \overline{B}, \overline{ν}) — их пополнения. Тогда из графической измеримость пары (X, Y) следует графическая измеримость пар (\overline{X}, Y), (X, \overline{Y}) и (\overline{X}, \overline{Y}).

Доказательство. этого факта не представляет сложности с учетом теоремы 2 и мы оставляем его читателю.

Определение 3.9. Пространство с мерой (X , A, μ) называется безатомным, если в любом измеримом множестве положительной меры найдется измеримое подмножество меньшей, но ненулевой меры:

(∀A ∈ A)[(μ(A) > 0) → (∃B ∈ A)((B ⊂ A) & (μ(A) > μ(B) > 0))].

Пространство с мерой будем называть поточечно безатомным, если все одноточечные множества в нем измеримы и имеют нулевую меру.

Любой элемент, образующий одноточечный атом, очевидно, является случайным. Поэтому наиболее интересны с точки зрения изучения случайных элементов именно поточечно безатомные пространства.

Определение 3.10. Польским пространством называется пространство с мерой (X , A, μ) где X — полное сепарабельное метрическое пространство, и A — его борелевская σ-алгебра.

Теорема 3.11 (Е. Шпильрайн-Марцевский,[14]). Любое поточечно-безатомное вероятностное польское пространство (X , A, μ) изоморфно пространству B = ([0, 1], Bo, m), то есть существует взаимно-однозначное с точностью до множеств нулевой меры отображение T : X → [0, 1] такое, что T и T^{−1} сохраняют меру.

Теорема 3.12. Если X_{1} и X_{2} — поточечно безатомные польские пространства, то пара (X_{1}, X_{2}) графически неизмерима.

Доказательство. Достаточно доказать требуемое для стандартных X_{1} и X_{2}. Итак, пусть X_{1} = (X_{1}, A_{1}, μ_{1}) и X_{2} = (X_{2}, A_{2}, μ_{2}) — стандартные поточечно безатомные польские пространства. Тогда для i = 1, 2 найдутся стандартные X̃_{i} ∈ A_{i} такие, что 0 < μ(X̃_{i}) < ∞. Рассмотрим пространства с мерой X̃_{1} = (ClX̃_{1}, Ã_{1}, μ̃_{1}) и X̃_{2} = (ClX̃_{2}, Ã_{2}, μ̃_{2}), где ClX̃_{i} — замыкание множества X̃_{i}, Ã_{i} = {A ∈ A | A ⊂ X̃_{i}} и μ̃_{i}(A) = \frac{μ_{i}(A∩X̃_{i})}{μ_{i}(X̃_{i})}, (i = 1, 2). Легко заметить, что X̃_{1} и X̃_{2} — поточечно безатомные вероятностные польские пространства. Из теоремы 11 и примера 7 вытекает, что пара (X̃_{1}, X̃_{2}) — графически неизмерима. Отсюда следует, что найдется случайный элемент (x_{1}, x_{2}) в произведении X̃_{1} ⊗ X̃_{2}, но при этом точка x_{2} не x_{1}-случайна. Случайность пары (x_{1}, x_{2}) влечет случайность самих точек x_{1} и x_{2} в пространствах X̃_{1} и X̃_{2}, откуда x_{i} ∈ X̃_{i} (i = 1, 2). Предположим, (x_{1}, x_{2}) ∈ F ∈ ^{∘}N_{X_{1}⊗X_{2}}. Но тогда (x_{1}, x_{2}) ∈ F ∩ (X_{1} × X_{2}) ∈ ^{∘}N_{X̃_{1}⊗X̃_{2}} что противоречит случайности пары (x_{1}, x_{2}) в X̃_{1}⊗X̃_{2}, откуда следует, что пара (x_{1}, x_{2}) случайна в X_{1}⊗X_{2}. Но, как легко заметить, из x_{1}-неслучайности точки x_{2} в X̃_{2} следует, что она x_{1}-неслучайна и в X_{2}, откуда и следует утверждение теоремы.

4. Вещественные разбиения пространств с мерой

Определение 4.1. Вещественным разбиением вероятностного пространства (X , A, μ) будем называть такое его разбиение (D_{t})_{t∈[0,1]} что μ(A_{t}^{−}) = μ(A_{t}^{+}) = t для всех t ∈ [0, 1], где A_{t}^{−} = ⋃_{s<t} D_{s}, A_{t}^{+} = ⋃_{s⩽t}D_{s}. Вещественное разбиение будем называть невырожденным, если для каждого t ∈ [0, 1] множество D_{t} непусто.

Теорема 4.2. В любом полном безатомном вероятностном пространстве найдется вещественное разбиение.

Доказательство. Пусть X = (X , A, μ) — полное безатомное вероятностное пространство. Пусть G — множество цепей в A вида (E_{t})_{t∈T ⊂[0,1]}, таких, что μ(E_{t}) = t и E_{s} ⊂ E_{t} при s < t. Введем в G естественное упорядочение, положив (E_{t}^{1})_{t∈T_{1}} ≺ (E_{t}^{2})_{t∈T_{2}} когда T_{1} ⊂ T_{2} и ∀t ∈ T_{1} E_{t}^{1} = E_{t}^{2}. Тогда по лемме Цорна в G найдется максимальная цепь (E_{t})_{t∈T_{0}⊂[0,1]}.

Покажем, что T_{0} = [0, 1]. Пусть t_{0} ∈ [0, 1] \ T_{0}, и пусть a = sup{t ∈ T_{0} | t < t_{0}}, b = inf{t ∈ T_{0} | t > t_{0}}. Покажем, что a, b ∈ T_{0}. Пусть (t_{n})_{n∈ℕ} ⊂ T_{0} — возрастающяя сходящяяся к a последовательность. Рассмотрим множество A = ⋃_{n∈ℕ}E_{t_{n}}. Очевидно, A ∈ A и μ(A) = a. Если t ∈ T_{0} и t < a, то найдется такое n, что t < t_{n}, откуда E_{t} ⊂ A. Если же t ∈ T_{0} и t > a то все E_{t_{n}} ⊂ E_{t}, а значит, A ⊂ E_{t}. В силу максимальности (E_{t})_{t∈T_{0}}, a ∈ T_{0}. Аналогично, b ∈ T_{0}. Допустим, a < b; тогда μ(E_{b} \ E_{a}) = b − a > 0. Тогда, благодаря безатомности X, найдется такое F ⊂ E_{b} \ E_{a}, что 0 < μ(F) < b − a. Отсюда E_{a} ⊂ E_{a} ∪ F ⊂ E_{b}, μ(E_{a} ∪ F) = a + μ(F) < b, что противоречит максимальности (E_{t})_{t∈T_{0}}. Итак, T_{0} = [0, 1].

Положим A_{t}^{+} = ⋂_{s>t} E_{s}, A_{t}^{−} = ⋃_{s<t} E_{s}. Из полноты пространства и того факта, что внутренние и внешние (в смысле теории меры) меры A_{t}^{−} и A_{t}^{+} совпадают и равны t, следует, что A_{t}^{−} и A_{t}^{+} измеримы и мера их равна t.

Очевидно, при t_{1} < t_{2} выполнено A_{t_{1}}^{−} ⊂ E_{t_{1}} ⊂ A_{t_{1}}^{+} ⊂ A_{t_{2}}^{−} ⊂ E_{t_{2}} ⊂ A_{t_{2}}^{+}. Положим

D_{t} = A_{t}^{+} \ A_{t}^{−}; тогда D_{t_{1}} ∩ D_{t_{2}} = ∅. Покажем, что A_{t}^{−} = ⋃_{s<t} D_{t}. Для x_{0} ∈ A_{t}^{−} положим

t_{0} = inf{t | x_{0} ∈ E_{t}} и покажем, что x_{0} ∈ D_{t_{0}}. Если t_{0} < s < t, то x_{0} содержится в E_{s} и, следовательно, в A_{t_{0}}^{+}. Аналогично, x_{0} ∉ A_{t_{0}}^{−}, так как в противном случае нашлось бы такое s < t_{0}, что x_{0} ∈ E_{s}. Следовательно, x_{0} ∈ A_{t_{0}}^{+} \ A_{t_{0}}^{−} = D_{t_{0}}. Итак, A_{t}^{−} = ⋃_{s<t} D_{s}, A_{t}^{+} = ⋃_{s⩽t}D_{s}. Для завершения доказательства леммы осталось заметить, что A_{0}^{−} = ∅,

A_{1}^{+} = X.

Определение 4.3. Будем говорить, что пространство с мерой содержит канторово множество, если в нем найдется подмножество мощности континуум нулевой меры.

При помощи теоремы 2 можно значительно расширить класс пространств в теореме 3.11 заменив условие изоморфности более слабым:

Теорема 4.4. Для любого полного безатомного вероятностного пространства, содержащего канторово множество, найдется эпиморфизм, т.е. сохраняющее меру отображение его на единичный отрезок с мерой Лебега.

Доказательство. Пусть X = (X , A, μ) — полное безатомное вероятностное пространство, и множество C ∈ N_{X} имеет мощность континуум. Наша задача — построить эпиморфизм φ : X → I, где I = ([0, 1], Lb, m).

Пусть C = {c_{t}}_{t∈[0,1]}. Рассмотрим пространство (X̃, Ã, μ̃), где X̃ = X \ C, Ã = {A \ C | A ∈ A}, μ̃ = μ|Ã. Это полное безатомное вероятностное пространство, поэтому по теореме 2 для него существует вещественное разбиение, то есть такое разбиение

(D̃_{t})_{t∈[0,1]}, что μ̃(Ã_{t}^{−}) = μ̃(Ã_{t}^{+}) = t, где Ã_{t}^{−} = ⋃_{s<t} D̃_{s}, Ã_{t}^{+} = ⋃_{s⩽t} D̃_{s}. Положим D_{t} =

D̃_{t} ∪ {c_{t}}, A_{t}^{−} = ⋃_{s<t} D_{s}, A_{t}^{+} = ⋃_{s⩽t}D_{s}. Из полноты X и того, что μ(C) = 0, вытекает

измеримость A_{t}^{−} и A_{t}^{+}, причем μ(A_{t}^{−}) = μ(A_{t}^{+}) = t. Тем самым (D_{t})_{t∈[0,1]} являетсмя невырожденным вещественным разбиением X.

Определим эпиморфизм φ : X → [0, 1] по правилу φ|_{D_{t}} = t . При этом φ(A_{t}^{−}) = [0, t), φ(A_{t}^{+}) = [0, t]. Поскольку отрезки вида [0, t) и [0, t] с определенной на них мерой, равной t, порождают борелевскую σ-алгебру с мерой Лебега, то φ^{−1} сохраняет меру Лебега борелевских подмножеств [0, 1]. Из полноты X следует, что φ сохраняет меру и лебеговских подмножеств.

Следующее наблюдение принадлежит С.А.Малюгину:

Теорема 4.5. Пусть X = (X , A, μ) — полное безатомное пространство с мерой. Если мощность X больше континуума то в X найдется канторово множество.

Доказательство. Не уменьшая общности можно считать, что X — вероятностное пространство, иначе можно взять в нем подмножество конечной меры. В этом случае по теореме 2 существует вещественное разбиение (D_{t})_{t∈[0,1]}, причем μ(D_{t}) = t для всех t ∈ [0, 1]. Если бы мощность всех D_{t} была меньше континуума, то |X | = | ⋃_{t∈[0,1]} D_{t}| ⩽ c, что противоречит условию. Значит, найдется t_{0} такое, что |D_{t_{0}}| ⩾ c.

В силу полноты меры любое континуальное подмножество D_{t_{0}} будет канторовым множеством в X.

В качестве иллюстрации к теореме 4 приведем простое доказательство следующего утверждения:

Теорема 4.6. В любом безатомном вероятностном пространстве найдется неизмеримое множество. (Этот факт неявно встречается в работе Улама [15].)

Доказательство. Допустим, существует безатомное вероятностное пространство X = (X , P(X), μ). Из безатомности X следует поточечная безатомность. Поскольку на алгебре всех подмножеств множества мощности континуум нельзя определить поточечно безатомную меру (см. [15,16]), заключаем, что |X | > c. Тогда теоремы 4 и 5 обеспечивают существование эпиморфизма φ : X → I = ([0, 1], Lb, m), причем множества D_{t} = φ^{−1}(t) образуют невырожденное вещественное разбиение X; обозначим его символом ξ. Рассмотрим σ-алгебры L = φ^{−1}(Lb) = {φ^{−1}(A) | A ∈ Lb}, P = φ^{−1}(P([0, 1])) = {φ^{−1}(A) | A ⊂ [0, 1]}. Перейдем к фактор-алгебрам по разбиению ξ (понятие фактора по разбиению можно найти, например, в [17]). Очевидно, пространство (X_{ξ}, L_{ξ}, μ_{ξ}) изоморфно I. Заметим, что L_{ξ} ⊂ P(X_{ξ}) = (P(X))_{ξ}. Отсюда следует, что пространство (X_{ξ}, P(X_{ξ}), μ_{ξ}) поточечно безатомно (т.к. L_{ξ} ⊂ P(X_{ξ})) и имеет мощность континуум. Полученное противоречие доказывает теорему.

5. Бесконечно мелкие разбиения измеримых пространств

Пусть (X , A) — стандартное измеримое пространство, т.е. X — стандартное множество, A — стандартная алгебра его подмножеств. Пусть Q — стоуновский компакт алгебры A, точками которого являются ультрафильтры измеримых множеств, и ι — канонический булев изоморфизм A на ClopQ — алгебру открыто-замкнутых множеств Q, т.е. ι(A) = {q ∈ Q | A ∈ q}. Все рассматриваемые далее меры по умолчанию предполагаются конечно-аддитивными.

Пусть P — внутреннее измеримое разбиение X.

Определение 5.1. Будем называть P бесконечно мелким разбиением (бмр), если ∀^{st}A ∈ A A = ⋃{p ∈ P | p ⊂ A}.

Как известно (см., например, [8]), из принципа идеализации вытекает существование конечных бмр в любом стандартном измеримом пространстве (X , A) и даже в булевой алгебре. Большинство приведенных ниже результатов верны для произвольной булевой алгебры, не обязательно являющейся алгеброй множеств. Итак, пусть в дальнейшем P — некоторое бмр (X , A). Обозначим через P_{s} и P_{n} соответственно совокупности стандартных и нестандартных элементов P. Заметим, что если все одноточечные множества измеримы, то P_{s} = {{x} | x ∈ ^{∘}X }.

Определение 5.2. Пусть p_{1}, p_{2} ∈ P. Будем говорить, что p_{1} эквивалентно p_{2} и обозначать это p_{1} ∼ p_{2}, если P \ {p_{1}, p_{2}} ∪ {p_{1} ∪ p_{2}} — бмр. Элемент разбиения p_{1} будем называть укрупняемым, если найдется отличный от него p_{2} ∈ P такой, что p_{1} ∼ p_{2}. В этом случае будем говорить, что p_{2} укрупняет p_{1}.

Теорема 5.3. Элемент бмр неукрупняем тогда и только тогда, когда он стандартен.

Доказательство. Очевидно, что стандартные элементы разбиения неукрупняемы. Покажем, что любой нестандартный элемент бмр укрупняем. Пусть p ∈ P_{n}, обозначим q = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | p ⊂ A}. Пусть S — некоторое стандартное конечное подмножество q и пусть S = ⋂ S. Очевидно, p ⊂ S, но из того, что S ∈ ^{∘}A следует p ≠ S. Тем самым найдется p′ ∈ P такой, что p′ ⊂ S и p′ ≠ p. Итак, (∀^{st fin}S ⊂ q)(∃p′ ∈ P)(p′ ≠ p & (∀A ∈ S)(p′ ⊂ A)). Отсюда по принципу идеализации следует, что найдется элемент p′ ∈ P отличный от p и содержащийся в любом стандартном множестве из q. Это значит, что p — требуемый.

В [8] показано, что вариация стандартной ограниченой измеримой функции на элементе бмр бесконечно мала.

Лемма 5.4. Пусть p_{1}, p_{2} ∈ P, тогда p_{1} ∼ p_{2} равносильно тому, что для любой стандартной ограниченной функции f : X → ℝ значения f на p_{1} и p_{2} примерно равны.

Доказательство. Слева направо утверждение вытекает из того, что P \ {p_{1}, p_{2}} ∪ {p_{1} ∪ p_{2}} — бмр. Обратное можно легко получить, если рассмотреть характеристические фукции стандартных измеримых множеств.

Пусть теперь на (X , A) задана стандартная мера μ. Обозначим P_{+} = {p ∈ P | μ(p) > 0}; P_{0} = {p ∈ P | μ(p) = 0}; A_{+} = {A ∈ A | μ(A) > 0}; A_{0} = {A ∈ A | μ(A) = 0}. Легко заметить, что все точки элементов P_{+} случайны. Элементы P_{+} будем называть существенными элементами БМП.

Определение 5.5. Пусть p ∈ P_{+}. Назовем его существенно укрупняемым, если найдется укрупняющий его p′ ∈ P_{+}. Назовем p существенно делимым, если найдутся непересекающиеся p_{1}, p_{2} ∈ A_{+} такие, что p = p_{1} ∪ p_{2}.

Теорема 5.6. Следующие утверждения эквивалентны:

(1) Любой существенный элемент бмр существенно делим.

(2) Любой существенный элемент бмр существенно укрупняем.

(3) Мера μ безатомна, т.е. ∀A ∈ A_{+} ∃B ∈ A_{+} B ⊂ A & μ(B) < μ(A).

Доказательство. Чтобы доказать импликацию из (1) в (2) рассмотрим существенный элемент p. По условию он существенно делим. Положим q = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | p ⊂ A}; пусть S — некоторое стандартное конечное подмножество q, и пусть S = ⋂ S. Очевидно, p ⊂ S ∈ ^{∘}q. Из существенной делимости p следует, что найдется измеримое множество p′ ∈ P такое, что 0 < μ(p′) < μ(p) ⩽ μ(S). По принципу переноса найдется стандартное B ⊂ S такое, что B и S \ B лежат в ^{∘}A_{+}. Очевидно p ⊂ B либо p ⊂ S \B; пусть p ⊂ B. Легко заметить, что найдется существенный элемент p′′ лежащий в S \ B. Тем самым, (∀^{st fin}S ⊂ q)(∃p′′ ∈ P_{+})(p′′ ≠ p & (∀A ∈ S)(p′′ ⊂ A)), откуда по принципу идеализации следует, что найдется существенный элемент бмр P, укрупняющий p.

Чтобы доказать импликацию (2) ⇒ (3), возьмем произвольное стандартное A ∈ A_{+}. Найдется p ∈ P_{+} такой, что p ⊂ A. Из существенной укрупняемости p следует, что существует p′ ∈ P_{+}, лежащий в A \ p, откуда μ(p) < μ(A). Теперь, дважды применяя принцип переноса, получаем требуемое.

Импликация (3) ⇒ (1) очевидна.

Пусть теперь мера μ счетно-аддитивна, а бмп P конечно. В работе [8] Леб вводит отображение T_{0} : ^{∘}L_{∞} → ℝ^{P} следующим образом: выберем в каждом p ∈ P_{+} точку c_{p}; для f ∈ ^{∘}L_{∞} положим (T_{0}f)_{p} = f(c_{p}) для p ∈ P_{+} и (T_{0}f)_{p} = 0 для p ∈ P_{0}.

Леб доказывает в в [8], что вектор ρ ∈ ℝ^{P} равен T_{0}f для некоторой f ∈ ^{∘}L_{∞} тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия:

(1) ρ_{p} = 0 для p ∈ P_{0};

(2) величина max_{p∈P} |ρ_{p}| околостандартна;

(3) ∀p ∈ P и ∀^{st}ε > 0, ∃^{st}A ∈ A такое, что p ⊂ A и |ρ_{p} − ρ_{p′}| < ε для любого p′ ∈ P_{+} содержащегося в A.

Лемма 5.7. Условие (3) равносильно следующеме условию: (3′) Для любых p_{1}, p_{2} ∈ P_{+} p_{1} ∼ p_{2} влечет ρ_{p_{1}} ≈ ρ_{p_{2}}.

Доказательство. (3′) вытекает из (3), поскольку иэ ∀^{st}ε > 0 |ρ_{p_{1}} − ρ_{p_{2}}| < ε) следует ρ_{p_{1}} ≈ ρ_{p_{2}}. Обратное докажем от противного. Предположим, (∃^{st}ε > 0)(∀^{st}A ∈ A)(p ⊂ A → (∃p′ ∈ P_{+} p′ ⊂ A & |ρ_{p} − ρ_{p′}| ⩾ ε)). Пусть q = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | p ⊂ A}; пусть S — стандартное конечное подмножество q и S = ⋂ S. По предположению найдется существенный p ⊂ S такой, что |ρ_{p} − ρ_{p′}| ⩾ ε. По принципу идеализации найдется элемент p′ ∈ P_{+}, удовлетворяющий условию (∀A ∈ ^{∘}q)(p′ ⊂ A&|ρ_{p} − ρ_{p′}| ⩾ ε), что противоречит (3′).

Пусть P — бмр стандартного измеримого пространства (X , A). Объединение эквивалентных элементов P будем называть монадой: m_{p} = ⋃{p′ ∈ P | p′ ∼ p}. Легко заметить, что 𝔐 = {m_{p}}_{p∈P} — внешнее разбиение (X ,^{∘}A), т.е. 𝔐 — разбиение X на непересекающиеся монады и ∀A ∈ ^{∘}A A = ⋃{m ∈ 𝔐 | m ⊂ A}.

Лемма 5.8. Разбиение 𝔐 совпадает с разбиением, порожденным ^{∘}A.

Доказательство. С одной стороны, если x_{1}, x_{2} ∈ m ∈ 𝔐, то найдутся p_{1}, p_{2} ⊂ m такие, что x_{i} ∈ p_{i} ∈ P (i = 1, 2). Тогда p_{1} ∼ p_{2}, а значит P \{p_{1}, p_{2}}∪{p_{1}∪p_{2}} — бмр, следовательно, для любого стандартного A ∈ A либо p_{1}∪p_{2} ⊂ A, либо (p_{1}∪p_{2})∩A = ∅, т.е. x_{1} и x_{2} не разделяются стандартными измеримыми множествами.

С другой стороны, если x_{1} и x_{2} не разделяются множествами из^{∘}A, то содержащие их элементы P, очевидно, эквивалентны.

Далее мы покажем, что фактор пространства (X ,^{∘}A) по разбиению 𝔐 (или, что то же самое, по эквивалентности “∼”) изоморфен стандартному ядру стоуновского компакта Q. Определим фактор-алгебру 𝔄 = ^{∘}A/𝔐, пусть θ : ^{∘}A → 𝔄 — естественный изоморфизм булевых алгебр θ(A) = {m ∈ 𝔐 | m ⊂ A}. Рассмотрим измеримое пространство (𝔐, 𝔄). Для m ∈ 𝔐 положим φ(m) = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | m ⊂ A}, для A ∈ ^{∘}A обозначим \overline{φ}(θ(A)) = ^{∗}\{φ(m) | m ∈ θ(A)\} = ^{∗}\{φ(m) | m ⊂ A\}.

Лемма 5.9. Имеют место следующие утверждения:

(1) φ — биекция 𝔐 на ^{∘}Q, причем m = ⋂^{∘}φ(m), φ^{−1}(q) = ⋂^{∘}q.

(2) \overline{φ} — булев изоморфизм 𝔄 на ^{∘}ClopQ, причем (\overline{φ} ∘ θ)(A) = ι(A) для всякого A ∈ ^{∘}A.

Доказательство. Предоставляем читателю проверить (1). Поскольку θ и ι — изоморфизмы, для доказательства (2) достаточно показать, что ∀^{st}A ∈ A \overline{φ}(θ(A)) = ι(A). Но q ∈ ^{∘}ι(A) ⇔ A ∈ ^{∘}q ⇔ φ^{−1}(q) = ⋂^{∘}q ⊂ A ⇔ q = φ(φ^{−1}(q)) ∈ {φ(m) | m ⊂ A} для q ∈ ^{∘}Q и A ∈ ^{∘}A. Тем самым,^{∘}ι(A) = \{φ(m) | m ⊂ A\}, откуда ι(A) = \overline{φ}(θ(A)).

Замечание 5.10. В робинсоновском нестандартном анализе лемма 3 выглядит несколько эффектнее, а именно: если положить φ(m) = {A ∈ A | m ⊂ ^{∗}A}, то φ осуществляет измеримый изоморфизм (𝔐, 𝔄) на (Q, ClopQ).

Замечание 5.11. Из лемм 8 и 9 легко вытекает отмеченный в [5] факт, что в топологии, порожденной A, X является вполне несвязным компактом.

К настоящему моменту у читателя могло сложиться впечатление, что все элементы P, лежащие в одной монаде, равноправны. Однако далее будет показано что это не так. Оказывается, среди элементов P, составляющих монаду, есть выделенный (будем называть его центральным элементом). Мы увидим, что свойства мер в значительной степени определяются их значениями на центральных элементах.

Для p ∈ P рассмотрим стандартную двузначную меру δ^{p}: для A ∈ ^{∘}A положим

δ^{p}(A) = \begin{cases}1, если p ⊂ A, \\ 0 иначе. \end{cases}

Очевидно, если p_{1}, p_{2} ⊂ m ∈ 𝔐, то δ^{p_{1}} = δ^{p_{2}}, т.е. элементы P, лежащие в одной монаде, порождают одну и ту же двузначную меру; обозначим ее δ^{m}. Но каждая стандартная двузначная мера принимает значение 1 лишь на одном элементе P и зануляется на всех остальных. Обозначим через p_{m} тот элемент P, для которого δ^{m}(p_{m}) = 1. Очевидно, p_{m} ⊂ m (см., например, [8]). Будем называть элементы множества P_{c} = {p_{m} | m ∈ 𝔐} центральными элементами P.

Чтобы понять, что выделяет центральные элементы среди всех остальных, нам понадобится описанная в лемме 9 связь разбиения 𝔐 и стоуновского компакта Q. Заметим прежде всего, что \overline{P} = \{ι(p)\}_{p∈P} — бмр измеримого пространства (Q, ClopQ).

Лемма 5.12. Для любого p ∈ P множество ι(p) ⊂ Q содержит не более одной стандартной точки.

Доказательство. Пусть q_{1}, q_{2} ∈ ^{∘}Q. Тогда найдется множество A ∈ ^{∘}A такое, что A ∈ q_{1} и X \ A ∈ q_{2}. Стандартное множество ι(A) разделяет точки q_{1} и q_{2}, поэтому они не могут лежать в одном ι(p).

Легко заметить, что множества \overline{m} = ⋃\{ι(p) | p ⊂ m\} являются монадами бмр \overline{P}.

Лемма 5.13. Для любой монады m ∈ 𝔐 выполнено φ(m) ∈ \overline{m}. Более того, \overline{m} является монадой стандартной точки φ(m) в топологии Q.

Доказательство. Пусть m ∈ 𝔐. Поскольку \overline{P} — разбиение Q, найдется p ∈ P такой, что φ(m) ∈ ι(p). Для любого стандартного A ∈ A, содержащего m, по определению φ выполнено φ(m) ∈ ι(A). Но тогда ι(p) ⊂ ι(A), откуда p ⊂ A. В силу произвольности выбора A получаем p ⊂ m и, следовательно, ι(p) ⊂ \overline{m}. Тем самым φ(m) ∈ ι(p) ⊂ \overline{m}.

Любое стандартное открыто-замкнутое множество, содержащее φ(m), содержит и \overline{m}, поскольку \overline{P} является бмр измеримого пространства (Q, ClopQ). Поэтому \overline{m} содержится в топологической монаде φ(m). Если q ∉ \overline{m}, то найдется p′ ⊂ m′ ≠ m такое, что q ∈ ι(p′) ⊂ \overline{m′}. Тогда q содержится в топологической монаде φ(m′) и, в силу хаусдорфовости Q, точка q не попадает в топологоческую монаду φ(m).

Итак, теперь мы знаем, что в каждой монаде \overline{m} есть ровно одна стандартная точка. Оказывается, именно те ι(p), в которых лежат стандартные точки Q, соответствуют центральным элементам P, что и показывает следующяя теорема:

Теорема 5.14.

(1) p ∈ P_{c} ⇔ φ(m_{p}) ∈ ι(p);

(2) p′ ∈ P \ P_{c} ⇔ ι(p′) не содержит стандартных точек.

Доказательство. Заметим, что всякой двузначной мере δ на A соответствует ультрафильтр q_{δ} = {A ∈ A | δ(A) = 1} и, наоборот, каждому ультрафильтру q соответствует двузначная мера, принимающяя значение 1 на множествах из q. Таким образом

p ∈ P_{c} ⇔ δ^{p}(p) = 1 ⇔ p ∈ q_{δ^{p}} ⇔ q_{δ^{p}} ∈ ι(p),

но

q_{δ^{p}} = {A ∈ A | δ^{p}(A) = 1} = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | δ^{p}(A) = 1} = ^{∗}{A ∈ ^{∘}A | p ⊂ A} =
∗{A ∈ ^{∘}A | m_{p} ⊂ A} = φ(m_{p}),

откуда следует (1).

Для доказательства (2) от противного, предположим существование стандартного q ∈ ι(p′). Пусть m = φ^{−1}(q), p = p_{m} ∈ P_{c}. Тогда m = m_{p} и q = φ(m_{p}) ∈ ι(p).

Далее мы покажем, что свойства стандартной меры и ее поведение на элементах бмр существенно зависит от ее значений на центральных элементах. Пусть далее μ — стандартная конечно-аддитивная мера на измеримом пространстве (X , A). Будем для простоты считать, что μ конечна. Через \overline{μ} будем обозначать меру на (Q, ClopQ), заданную по правилу \overline{μ}(D) = μ(ι^{−1}(D)) для D ∈ ClopQ.

Теорема 5.15. Пусть p ∈ P_{c} и μ(p) ∈ ^{∘}ℝ. Тогда

(1) μ(p′) = 0 для любого p′, эквивалентного p.

(2) Найдется стандартное множество A ∈ A, содержащее m_{p}, такое, что μ(A) = μ(p).

Доказательство. Рассмотрим меру \overline{μ} на (Q, ClopQ), заданную следующим образом: \overline{μ}(D) = μ(ι^{−1}(D)) для D ∈ ClopQ. Если для всякого A ∈ ^{∘}A m_{p} ⊂ A влечет μ(A) > μ(p), то для любого стандартного D ∈ ClopQ φ(m_{p}) ∈ D влечет \overline{μ}(D) > μ(p). Так как φ(m_{p}) — стандартная точка, то по принципу переноса ∀D ∈ ClopQ из φ(m_{p}) ∈ D следует \overline{μ}(D) > μ(p). Но это противоречит тому, что φ(m_{p}) ∈ ι(p) и \overline{μ}(ι(p)) = μ(p). Полученное противоречие доказывает (2). (1) очевидно из (2).

Теорема 5.16. Пусть p — центральный элемент P, тогда для любого стандартного положительного ε найдется стандартное измеримое множество A, содержащее m_{p}, такое, что μ(A) − μ(p) ⩽ ε.

Доказательство. аналогично доказательству теоремы 15. Фиксируем стандартное положительное ε и для всякого A ∈ ^{∘}A такого, что m_{p} ⊂ A, выполнено μ(A) ⩾ ε + ^{∘}μ(p). Это значит, что для любого D ∈ ^{∘}ClopQ из φ_{m_{p}} ∈ D следует \overline{μ}(D) ⩾ ε + ^{∘}μ(p). После примерения принципа переноса получаем противоречие μ(p) = \overline{μ}(ι(p)) ⩾ ε +^{∘}μ(p); откуда следует требуемое.

Следствие 5.17. Мера любого нецентрального элемента бесконечно мала. Более того, мера любого измеримого подмножества монады m, ι-образ которого не содержит φ(m), бесконечно мала.

Доказательство. Пусть p_{0} ∈ A, p_{0} ⊂ m и φ(m) ∉ ι(p_{0}). Тогда, очевидно, P_{0} = {p ∩ p_{0}, p\p_{0} | p ∈ P } — бмр, причем m — его монада и p_{m} \p_{0} — ее центральный элемент. Зафиксируем стандартное положительное ε. По теореме 16 найдется множество A ∈ ∘A, содержащее m такое, что μ(A)−μ(p_{m}\p_{0}) ⩽ ε. Но p_{0} ⊂ A\(p_{m}\p_{0}), откуда μ(p_{0}) < ε. В силу произвольности выбора ε получаем μ(p_{0}) ≈ 0.

Лемма 5.18. Для всякого p ∈ P_{c} выполнено μ(p) ⩾ ^{∘}μ(p).

Доказательство. Очевидно, для всякого D ∈ ^{∘}ClopQ, содержащего φ_{m_{p}}, мы имеем ι(p) ⊂ D, а значит, ^{∘}μ(p) ⩽ μ(D). По принципу переноса получаем (∀D ∈ ClopQ) (φ_{m_{p}} ∈ D → ^{∘}μ(p) ⩽ μ(D)). Подставив ι(p) в качестве D, получаем требуемое.

Теорема 5.19. Мера μ безатомна тогда и только тогда, когда она принимает бесконечно малые значения на всех элементах P.

Доказательство. Рассмотрим стандартную конечную меру μ на измеримом пространстве (X , A). Пусть μ безатомна. Для p ∉ P_{c} имеем μ(p) ≈ 0 по теореме 16. Пусть p ∈ P_{c}. Из теоремы 4.2 вытекает, что найдутся измеримые множества p_{1} и p_{2} такие, что p_{1} ∩ p_{2} = 0, p_{1} ∪ p_{2} = p и μ(p_{i}) = \frac{μ(p)}{2} (i = 1, 2). Очевидно, P \ {p} ∪ {p_{1}, p_{2}} — бмр, причем из теоремы 14 следует, что один из p_{i} является центральным, пусть это p_{1}, а второй — нет. Тогда μ(p_{2}) ≈ 0 по теореме 16, откуда μ(p) = 2μ(p_{2}) ≈ 0.

Обратно, если μ не безатомна, то найдется множество B ∈ ^{∘}A_{+} удовлетворяющее условию (∀A ∈ A)((A ⊂ B & μ(A) ≠ μ(B)) → (μ(A) = 0)). Рассмотрим двузначную меру δ(A) = \frac{μ(A∩B)}{μ(B)}. Найдется p ∈ P такой, что δ(p) = 1 и δ(p′) = 0 для всех p′ ∈ P, отличных от p. Очевидно, что p ⊂ B. Тогда μ(p) = μ(b) · δ(p) = μ(B) ≉ 0, что противоречит предположению.

Литература

[1] Гордон Е. И. О мерах Леба // Изв. вузов. Математика. 1991, � 2. C. 25–33.

[2] Гордон Е. И. О преобразовании Фурье в нестандартном анализе // Изв. вузов. Математика. 1989, � 2. C. 17–25.

[3] Гордон Е. И. Нестандартные конечномерные аналоги операторов в L_{2}(ℝ^{n}) // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, � 2. C. 45–59.

[4] Loeb P. A. Conversion from nonstandard to standard measure spaces and applications in probability theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 211. P. 113–122.

[5] Sun Y. On the theory of vector valued Loeb measures and integration // J. Funct. Anal. 1992. V. 104. P. 327–362.

[6] Wattenberg F. Nonstandard measure theory: avoiding pathological sets // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 250. P. 375–368.

[7] Гордон Е. И. Относительно стандартные элементы в теории внутренних множеств Е. Нельсона // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, � 1. C. 89–95.

[8] Loeb P. A. A nonstandard representation of measurable spaces, L_{∞}, and L_{∞}^{∗} // in “Contributions to Nonstandard Analysis” Amsterdam: North-Holland, 1972.

[9] Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа. Новосибирск: Наука, [10] Сutland N. J. Nonstandard measure theory and its applications // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15. P. 529–587.

[11] Halmos P. R. Measure theory. N.-Y.: Springer-Verlag, 1974.

[12] Henson C. W., Moore L. C. Nonstandard analysis and the theory of Banach spaces // Nonstandard Analysis: Recent Development /Lecture Notes in Math. 1983, N 983.

[13] Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Москва: Мир, 1983.

[14] Marczewski E. (Szpilrajn) Sur les ensembles et les fonctions absolument mesurable // Compt. Rend. Sean. Soc. Sien. Lettr. Varsovie 1937. V. 3. P. 39–68.

[15] Ulam S. Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre // Fund. Math. Warsaw 1930. V. 16. P. 140–150.

[16] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Москва: Мир, 1970.

[17] Самородницкий А. А. Теория меры. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1990.

Автор работы Троицкий В. Г.